И снова об этом заблуждении, которое возникает снова и снова. Ну как же, «релятивистcкая масса» тела увеличивается, тело сплющивается, идеальные условия для создания черной дыры! Ох уж эта релятивистcкая масса... Дадим три ответа на вопрос, вынесенный в название статьи — формальный, очевидный и подробный и поговорим об ОТО.

Когда я был маленький, я читал популярную книжку по ОТО — Общей Теории Относительности. Там рассказывалось про то, что быстро летящее тело набирает «релятивистcкую массу», становится очень тяжелым и притягивает все во вселенной. Там была даже примерно такая картинка:

восстановлено по памяти

Поэтому все картинки дальше будут в стиле ретрофутуризма. Термин «релятивистская масса» возник в начале 20 века, и был вытеснен из физики, но он успел прочно закрепиться в популярной литературе и в ней жив до сих пор. Давайте пользоваться правильными терминами:

Итак, три ответа на вопрос

Первый — расчеты для гравитационного радиуса Швардшильда выполняются в системе, где рассматриваемое тело покоится. Full stop, как говорят американцы. К летящему телу их применять нельзя.

Второй — законы природы едины для всех равномерно движущихся систем отсчета (ковариантность). Если тело превратилось в черную дыру для одного наблюдателя, то превратилось для всех. И наоборот. А раз тело для самого себя не потяжелело и не сплюснулось и не превратилось в черную дыру, то этого не произошло ни для одного наблюдателя.

Даже сейчас мимо нас пролетают тела на околосветовой скорости (OMG particles), и для них мы выглядим летящими на чудовищной скорости и сплюснутыми. И... с нами ничего не происходит:

Вы можете легко использовать ковариантность для решения задач в уме просто прыгая в подходящую систему отчета. Например, решите такую задачу (решать «в лоб» очень сложно):

Здесь въедливый читатель спрашивает: ну хорошо, так в итоге что, летящие тела притягиваются слабее? Или сильнее? Это все желание выразить все элементы тензора массы энергии:

всего одним числом. Иногда это возможно (и мы рассмотрим такие случаи), иногда нет. Случаев, когда это возможно, несколько, и для них придуманы разные вспомогательные понятия массы, которые работают в некоторых — но не во всех! случаях.

Это слово из программирования, не ОТО, но очень полезное. Как бы не перекладывались значения в тензоре, это не влияет на притяжение далеких тел — им нет дела до «движухи» внутри:

Рассмотрим прочную отражающую сферу, внутри которой аннигилирует килограмм материи и антиматерии. Это никак не влияет на притяжение тестовой массы. А вот внутри происходят интересные вещи:

Интересно, что масса сферы не может быть меньше 2кг, иначе при натяжении в 2кг вклад ее тензора станет отрицательным... не то, чтобы это было бы математически невозможно, но как минимум называется экзотической материей.

А вот продолжение задачи: а что будет, когда сфера остынет?

Чтобы остыть, она должна излучить свет вовне. Вначале не произойдет ничего, но как только свет будет улетать дальше тестовой массы, масса сферы снизится до 10 кг и траектория тестового тела наконец изменится.

А если сферы нет?

То нет ни давления, ни натяжения. Как было 2кг, так и осталось — но в энергии фотонов. Впрочем, они быстро улетят.

Пример выше вдохновляет нас забить на ОТО и использовать старую добрую формулу Ньютона и, расcчитав обратным ходом массу в центре по притяжению далекого объекта, получившееся значение считать массой — эта идея используется для масс Bondi и ADM. Полностью забыть про ОТО, впрочем, не всегда получится — есть еще и гравитационные волны, которые уносят энергию.

Для использования этих масс у нас должна быть возможность постоять в сторонке, желательно подальше. А это не всегда возможно — эти массы неприменимы для, например, центра галактик, где суета вокруг черной дыры и куча звезд рядом.

Масса Komar может использоваться и в таких случаях — но она требует статичности объекта (что тоже не всегда возможно), зато она не требует спокойной пустоты вокруг. Наблюдатель на любой звезде в скоплении мог бы посчитать ее «статичной» (игнорируя приливные силы) и работать ее массой.

Разумеется, сумма всех Komar‑масс звезд скопления, посчитанных локально, не совпадет с Bondi/ADM массой по наблюдению издалека. Для того, чтобы они совпали хотя бы приблизительно, надо учесть кинетическую энергию и энергию связи.

Если с кинетической энергией все просто (спойлер: нет, в искривленном пространстве все совсем не просто), то энергия гравитационной связи вообще хитрая вещь.

Она нелокализуема. Нельзя сказать что она тут, или там, или что еще больше у одного тела, и какова ее плотность.

Давайте разберемся с таким примером. Первичная черная дыра массой 10^15 кг (астероид) пролетает сквозь Землю около лаборатории. Представили?

Как ни странно, это событие, скорее всего, окажется незамеченным. Черная дыра будет размером с протон, расчеты показывают, что при обычной галактической скорости в сотни километров в секунду она, пролетая Землю насквозь, «скушает» порядка 17.5 миллиграмм массы, что ее замедлить не может — в итоге как она прилетела, так с точно такой же скоростью и улетела!

А как это отразится на тех, кто стоит рядом с ее траекторией? Первый эффект — резкое кратковременное притяжение, наш тестовый шар покатился в сторону траектории, набрав какую то скорость (kick). Эффект второго порядка — увлечение ЗА черной дырой (drag). Это не только эффект ОТО — такое происходит даже в классической механике Ньютона.

Начнем с притяжения, какую скорость наберет тестовое тело расстоянии 1 метр от траектории черной дыры для различных скоростей ее движения?

Как видно, вначале с ростом скорости эффект падает (тело проносится все быстрее и все меньше времени проводит рядом). Достигнув минимума (c/sqrt(3)), притяжение начинает расти линейно с фактором gamma, но даже для чудовищного gamma = 1000 едва сравнивается с эффектом медленно летящей черной дыры.

Что касается увлечения ЗА дырой (drag): этот эффект еще меньше, он в основном ньютоновский, для расстояния в метр он 0.89мм/сек, дальше только падает, и начинает расти только при очень больших gamma, для нашего максимального gamma=1000000 drag 0.13 микрон/сек

Так насколько безопасно для человека стоять около траектории черной дыры? Скорости в таблице кажутся маленькими, но... ускорение шоковое (скорость прохождения черной дыры больше скорости звука). Для гравитации даже это не так страшно (ускорение инерциальное) — важны лишь приливные эффекты. Примерный расчет дает разрыв тканей на расстоянии 30 см при 100км/сек, дальше размер зоны поражения уменьшается, возвращаясь к 30см при gamma = 1000 и далее растет.

Пролетающее тело — это тот случай, когда свести к какой‑то одной массе у нас не получится — слишком уж ассиметричный случай. Иногда кажется, что притяжение слабее (из первой задачи, тела слипаются медленнее), иногда — сильнее, а в общем случае надо считать.

P.S

17.5 миллиграмм на весь диаметр Земли, тем не менее, это 30 грамм TNT на метр пути. Из которых, правда, лишь очень малая часть высвечивается, а не тупо падает в черную дыру. Однако, в паре миллиметров от траектории шок расплавляет и даже испаряет материю. В атмосфере плотность меньше, и это дает 87 Джоулей на метр в канале шириной несколько миллиметров и температурой около 1500K. То есть это будет выглядеть как очень короткая идеально прямая молния, сопровождаемая сухим одиночным треском.