Просмотр новости
Найдите то, что Вас интересует
Спутники
РН
SpaceX
Роскосмос
NASA
СпутникиРНSpaceXРоскосмосNASAСферическая тригонометрия.
Часть 1. Сферический треугольник и круг Непера.
Всякий раз, когда я смотрю на небесную сферу через визир неработающего электронного телескопа, я с благодарностью вспоминаю Непера и его мнемонические правила. Ибо они помогают мне определить мои координаты по хорошо заметным ярким звездам. Другого способа у меня нет. Все мои аккумуляторы давно разрядились, а пучка фотонов, идущего от звезд, хватает только для зарядки лазерной ручки, при помощи которой я и пишу этот текст.
Цель моего письма — это не история о галактическом перелете от Веги Волопаса до Бетельгейзе, не рассказ о цепи случайностей, приведших к полной утрате энергообеспечения моего космического глайдера. Цель моего письма — повествование о великом Непере и его последователях. Они жили на Земле — невзрачной третьей планете у желтого карлика по имени Солнце. Но их усердие, талант и труды позволяют мне сейчас без труда понимать, где я нахожусь и куда следую.
Итак, начну.
-------
Как вы знаете из курса звездной навигации (его читают в начальных классах), метрика нашей Галактики не является евклидовой. Межзвездным пространством правит геометрия сфер. Поэтому кратчайший путь между двумя звездами всегда проходит по дуге большого круга с центром в центре Галактики, а не по евклидовой прямой. И для определения расстояний и ориентирования в космосе используют формулы сферической геометрии.
(Примечание. Мнение автора данного текста может не совпадать с мнением редактора.)
Как вы помните из того же курса навигации, формулы сферической геометрии достаточно громоздки и трудны для запоминания. Я, например, до сих пор путаюсь, где писать синус, а где косинус. Видимо их так же путал Джон Непер.
Непер жил на Земле, в Шотландии, в 16-17 веках и был известным математиком. Он опубликовал таблицу логарифмов и описание прочих интересных вещей. И именно он придумал простое мнемоническое правило, которое позволяет по пяти элементам прямоугольного сферического треугольника восстановить десять формул сферической тригонометрии. Для вывода формул Непер использовал круг.
-------
Начертим на поверхности сферы прямоугольный сферический треугольник. Обозначим его углы заглавными буквами A, B, C, а его стороны, лежащие напротив углов, прописными буквами a, b, c. Угол C у нас прямой.
Напомню, что стороны сферического треугольника измеряются в градусах (радианах), как и его углы. Угловая длина стороны треугольника равна углу между радиусами, проведенными из центра сферы к концам стороны.
-------
Теперь начертим произвольный круг и разделим его на пять секторов. В каждый сектор против часовой стрелке запишем элементы прямоугольного сферического треугольника. При этом прямой угол C пропустим и, вместо углов A и B и гипотенузы c, запишем их дополнения до 90°. Получим следующую циклическую последовательность.
a → b → (90°-A) → (90°-c) → (90°-B).
У каждого элемента в круге есть смежные соседи, которые с ним граничат, и противоположные, находящиеся напротив него.
Правило Непера утверждает:
> Синус выбранного элемента равен произведению:
> 1. Тангенсов смежных элементов.
> 2. Косинусов противоположных элементов.
Например,
sin(a) = tg(b) ∙ tg(90°-B) = tg(b) ∙ ctg(B)
sin(a) = cos(90°-A) ∙ cos(90°-c) = sin(A) ∙ sin(c)
Отсюда легко вывести все десять тригонометрических формул.
-------
Формулы для гипотенузы c:
- cos c = cos a ∙ cos b
- cos c = cot A ∙ cot B
Формулы для катета a:
- sin a = sin c ∙ sin A
- sin a = tan b ∙ cot B
Формулы для катета b:
- sin b = sin c ∙ sin B
- sin b = tan a ∙ cot A
Связь углов и противоположных катетов:
- cos A = cos a ∙ sin B
- cos A = tan b ∙ cot c
- cos B = cos b ∙ sin A
- cos B = tan a ∙ cot c
Вот те же формулы в компактном виде.
sin a = sin c ∙ sin A = tan b ∙ cot B
sin b = sin c ∙ sin B = tan a ∙ cot A
cos c = cos a ∙ cos b = cot A ∙ cot B
cos A = tan b ∙ cot c = cos a ∙ sin B
cos B = tan a ∙ cot c = cos b ∙ sin A
И они же показаны на рисунке.
-------
Непер опубликовал свое правило в 1619 году в книге "Описание удивительной таблицы логарифмов" (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Однако он не привел вывода этих формул.
Их изящное и наглядное геометрическое обоснование дал Иоганн Ламберт в книге 1765 года "Дополнения к применению математики и их приложения" (Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung). Для этого он использовал сферический звездчатый пятиугольник.
Позднее, Карл Гаусс (тот самый) использовал такой же звездчатый пятиугольник для той же цели. Считается, что Гаусс пришел к нему самостоятельно, не читая трудов Ламберта. Гаусс настолько воодушевился созданной конструкцией, что назвал ее "чудесной пентаграммой" (pentagramma mirificum).
-------
Ссылки на книги Непера и Ламберта даны в комментариях.
Продолжение следует...
#ёжик_пишет #алгебра_и_геометрия
| # | Наименование новости | Тональность | Информативность | Дата публикации |
|---|---|---|---|---|
| 1 | "...когда такой перегрев на планете, любопытно узнать, что там у ... | 0 | 10 | 25-07-2026 |
| 2 | 🛸 Представьте, что вы находитесь на борту космической станции и раскручиваете пальцами обычную ... | 0 | 6.27 | 06-08-2026 |
| 3 | 🔬 Звёзды под прицелом телескопа: Новое время и великое разделение ... | 0 | 7 | 02-07-2026 |
| 4 | Расследование вели................................................................. Официальная наука заперла сознание миллиардов в плоскую круговую ... | 0 | 6.47 | 28-08-2026 |
| 5 | 🧬Гармония сфер 🌀 Вписаться в Галактики общий узор, Где свет ... | 1 | 3 | 12-07-2026 |
| 6 | Куплет 20 Замыкается вторая десятка кругов в золотомкосмическом круговороте. Пузырьки ... | 0 | 7.7 | 23-07-2026 |
| 7 | Квазары предпочитают моду семидесятых | 3 | 7 | 08-06-2020 |
| 8 | ✅5 самых больших созвездий на небе: где искать настоящих гигантов ... | 0 | 10.98 | 25-07-2026 |
| 9 | Лет до 12 я очень увлекался всем, что связано с ... | 3 | 6 | 30-06-2026 |